LaTeX forum ⇒ Document Classesbeamer | Error nowhere to be found

Information and discussion about specific document classes and how to create your own document classes.
Hiorii
Posts: 1
Joined: Thu Dec 20, 2012 3:44 am

beamer | Error nowhere to be found

Postby Hiorii » Thu Dec 20, 2012 3:52 am

Hi everyone!

I have a problem. I started to use LaTeX ten hours ago and I have to give my project for five hours. Here is a code I wrote and its error:
  1. line 643. Missing }inserted .<inserted text>}/end{itemize}.

I know what is wrong but I cant find it and I have not left much time :< Here is a code sample.
  1. \documentclass[]{beamer}
  2. % Class options include: notes, notesonly, handout, trans,
  3. % hidesubsections, shadesubsections,
  4. % inrow, blue, red, grey, brown
  5.  
  6. % Theme for beamer presentation.
  7. \usepackage{beamerthemesplit}
  8. \usepackage[polish]{babel}
  9. \usepackage[utf8]{inputenc}
  10. \usepackage[T1]{fontenc}
  11. \usepackage{hyperref}
  12. \usepackage{listings}
  13. \usepackage{graphicx}
  14.  
  15. % Other themes include: beamerthemebars, beamerthemelined,
  16. % beamerthemetree, beamerthemetreebars
  17. \usetheme{Madrid}
  18. \title{Macierze ortogonalne i ortogonalizacja Grama-Schmidta - ćwiczenia} % Enter your title between curly braces
  19. \author{Michał Gajdziel i Bartosz Janiak} % Enter your name between curly braces
  20. \institute{PUT} % Enter your institute name between curly braces
  21. \date{\today} % Enter the date or \today between curly braces
  22.  
  23. \begin{document}
  24.  
  25. % Creates title page of slide show using above information
  26. \begin{frame}
  27. \titlepage
  28. \end{frame}
  29. \begin{itemize}
  30. \item Zadanie 17.1
  31.  
  32. Wektory ortonormalne są automatycznie liniowo niezależne.
  33. Dowód macierzy: Pokaż, że Qx = 0 implikuje x = 0. Ponieważ Q może być macierzą prostokątną, możesz użyć $Q^{T}$, ale nie $Q^{-1}$
  34.  
  35. \item Rozwiązanie 17.1
  36.  
  37. Z definicji, Q jest macierzą której kolumny są ortonormalne, i jak wiemy$ Q^{T}Q = 1$ (gdzie Q może być macierzą prostokątną). Wtedy :
  38.  
  39. \begin{center}
  40. Qx = 0 ? $Q^{T}$Qx = $Q^{T}$0 ? Ix = 0 ? x = 0
  41. \end{center}
  42.  
  43. Zatem przestrzeń zerowa macierzy Q jest wektorem zerowym, więc kolumny macierzy Q są liniowo niezależne. Nie ma nie zerowych kombinacji liniowych kolumn, równych wektorowi zerowemu. Zatem, ortonormalne wektory są automatycznie liniowo niezależne.
  44. \newpage
  45.  
  46. \item Zadanie 17.2
  47.  
  48. Dane są wektory a, b i c przedstawione poniżej. Użyj metody ortogonalizacji Grama-Schmidta do odnalezienia wektorów A, B i C , które zajmują tą samą przestrzeń.
  49.  
  50. \begin{center}
  51. a = (1,-1,0,0), b = (0,1,-1,0), c = (0,0,1,-1).
  52. \end{center}
  53.  
  54. Pokaż, że {A,B,C} i {a,b,c} są bazami dla przestrzeni wektorów prostopadłych do d = (1,1,1,1)
  55. \\
  56. \item Rozwiązanie 1.72
  57.  
  58. Stosujemy metodę ortogonalizacji Grama-Schmidta dla a,b,c.Po pierwsze ustalamy:
  59.  
  60. \begin{center}
  61. A = a = (1,-1,0,0).
  62. \end{center}
  63.  
  64. Następnie znajdujemy B:
  65.  
  66. B = b - $\dfrac{A^{T}b}{A^{T}A}A = (0,1,-1,0)+\dfrac{1}{2}(1,-1,0,0)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},-1,0)$\\
  67. I wtedy znajdujemy C:
  68. \\C = c - $\dfrac{A^{T}c}{A^{T}A}A = (0,0,1,-1)+\dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},-1,0)=(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},-1)$
  69.  
  70. \newpage
  71. Wiemy z pierwszego problemu, że elementy zbioru {A,B,C} są liniowo niezależne i każdy wektor jest ortogonalny do (1,1,1,1). Przestrzeń wektorów prostopadłych do d jest trójwymiarowa (ponieważ rząd przestrzeni (1,1,1,1) jest jednowymiarowy i liczba wymiarów przestrzeni rzędów dodanych do liczby wymiarów przestrzeni zerowej powiększa się do 4). Zatem {A,B,C) tworzy bezę dla przestrzeni wektorów prostopadłych do d.
  72. \\
  73. Podobnie ,{a,b,c} jest bazą dla przestrzeni wektorów prostopadłych do d, ponieważ wektory są liniowo niezależne , ortogonalne do (1,1,1,1) i
  74.  
  75. \newpage
  76.  
  77. \item Zadanie1
  78. \\
  79. Które z poniższych zestawów wektorów $v_{1}$,$v_{2}$ są ortogonalne, ortonormalne lub inne?
  80. \\
  81. a. $v_{1}$=(1,-2) i $v_{2}$=(4,2)\\
  82. b. $v_{1}$=(1,0) i $v_{2}$=$(\dfrac{-1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$\\
  83. c.$v_{1}$=$(\dfrac{3}{5},0,-\dfrac{4}{5}$
  84. \\
  85. Zadanie1 - rozwiązania
  86. \\
  87. a.Wektory są ortogonalne ponieważ \\
  88.  
  89. $(1,-2)\times (4,2) = 0$
  90.  
  91. b.Wektory są normalne , jednak nie ortonormalne.\\
  92. c.Ten wektor jest wektorem jednostkowym dla\\
  93. $\arrowvert(\dfrac{3}{5},0,-\dfrac{4}{5}) \arrowvert = 1$
  94.  
  95. Pojedynczy wektor jednostkowy zawsze tworzy ortonormalny rząd. Więc zwłaszcza ${v_{1}}$ jest ortonormalnym zbiorem.
  96.  
  97. \newpage
  98. Zadanie 2.
  99. \\
  100. Czy macierz przedstawiona ponieżej jest ortogonalna?
  101. \\
  102. A =
  103. $ \begin{bmatrix}
  104. \dfrac{30}{97} & \dfrac{97}{102}
  105. \\
  106. \\
  107. \dfrac{97}{102} & -\dfrac{30}{97}
  108. \\
  109. \end{bmatrix}$
  110.  
  111.  
  112. Rozwiązanie:
  113. \\
  114. Żeby sprawdzić czy macierz jest ortogonalna - mnożymy ją przez jej transpozycje. Jeżeli rezultat jest identyczną macierzą, ot macierz jest ortogonalna.
  115.  
  116. A$A^{T}$ =
  117. $ \begin{bmatrix}
  118. 0,3092 & 0,9510
  119. \\
  120. \\
  121. 0,9510 & -0.3092
  122. \\
  123. \end{bmatrix}
  124. =
  125. \begin{bmatrix}
  126. 1 & 0
  127. \\
  128. \\
  129. 0 & 1
  130. \\
  131. \end{bmatrix}$
  132. \\
  133. Macierz A jest macierzą ortogonalną.
  134. \newpage
  135. Zadanie3.
  136. \\
  137. Znajdź wartość dla a,b i c, dla których podana macierz będzie ortogonalna.
  138. \\
  139. Q =
  140. $\begin{bmatrix}
  141. 0 & -\dfrac{2}{3}
  142. & a \\
  143. \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{3}
  144. & b \\
  145. -\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{3}
  146. & c
  147. \end{bmatrix}$
  148. \\
  149. Rozwiązanie
  150. \\
  151. Kolumny Q to:
  152. \\
  153. q$_{1}$=
  154. $\begin{bmatrix}
  155. 0 \\
  156. \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
  157. -\dfrac{2}{\sqrt{5}}
  158. \end{bmatrix}
  159. q_{2}=
  160. \begin{bmatrix}
  161. -\dfrac{2}{3} \\
  162. \dfrac{2}{3} \\
  163. \dfrac{1}{3}
  164. \end{bmatrix}
  165. q_{3}=
  166. \begin{bmatrix}
  167. a \\
  168. b \\
  169. c
  170. \end{bmatrix}$
  171. \\
  172. Zostawiam Ci zweryfikowanie, że $\vert\vert q_{1}\vert\vert = 1, \vert\vert q_{2}\vert\vert = 1 , q_{1} \times q_{2} = 0 i q_{2} \times q_{3} = 0.$
  173.  
  174. Następnie :
  175. \\
  176. $q_{1}\times q_{3} = \dfrac{b}{\sqrt{5}} - \dfrac{2c}{\sqrt{5}} = 0
  177. q_{2}\times q_{3} = -\dfrac{2}{3}a + \dfrac{2}{3}b + \dfrac{1}{3}c = 0$
  178. \\
  179. Z pierwszego działania widzimy, że b = 2c, z drugiego zaś iż c = $\dfrac{2}{5}$a. Mając to możemy policzyć, że b = $\dfrac{4}{5}$a.
  180. \\
  181. Teraz korzystając ze wcześniejszych obliczeń wiemy, że trzecia kolumna (żeby być ortogonalna), musi wyglądać następująco :
  182. \\
  183. w =
  184. $\begin{bmatrix}
  185. a \\
  186. \\
  187. \dfrac{4}{5}a
  188. \\
  189. \\
  190. \dfrac{2}{5}a
  191. \end{bmatrix}$
  192. \\
  193. Musimy mieć pewność że dla trzeciej kolumny zachodzi zależność : $\vert\vert w \vert\vert = 1$ albo możemy założyć że $\vert\vert w \vert\vert^{2} = 1$, ponieważ wiemy że znak musi być dodatni.
  194. \\
  195. Więc obliczmy $\vert\vert w \vert\vert^{2}$:
  196. \\
  197. 1 = $\vert\vert w \vert\vert^{2} = a^{2} + \dfrac{16}{25}a^{2} + \dfrac{4}{25}a^{2} = \dfrac{45}{25}a^{2} \rightarrow a = \pm \dfrac{5}{\sqrt{45}}$
  198. \\
  199. To daje nam dwie różne możliwości wartości a, z których liczymy wartości wektora $q_{3}$
  200. \\
  201. $q_{3}=
  202. \begin{bmatrix}
  203. \dfrac{5}{\sqrt{45}}\\
  204. \dfrac{4}{\sqrt{45}}\\
  205. \dfrac{2}{\sqrt{45}}
  206. \end{bmatrix}
  207. q_{3}=
  208. \begin{bmatrix}
  209. -\dfrac{5}{\sqrt{45}}\\
  210. -\dfrac{4}{\sqrt{45}}\\
  211. -\dfrac{2}{\sqrt{45}}
  212. \end{bmatrix}$
  213. \newpage
  214. Niech A i B to macierze ortogonalne. Pokaż, że AB jest także macierzą ortogonalną.
  215. \\
  216. Wiemy, że:
  217. 1.$A^{T} \times A = A \times A^{T} = I$
  218. \\
  219. 2.$(AB)^{T} = B^{T} \times A^{T} $
  220. \\
  221. zatem:
  222. \\
  223. $(AB)\times(AB)^{T} = A \times B \times A^{T} \times B^{T}$
  224. \\
  225. Z definicji:
  226. \\
  227. $B \times B^{T} = I$
  228. \\
  229. $(AB) \times (AB)^{T} = A \times I \times A^{T} = I$
  230. \newpage
  231.  
  232. Udowodnij, że jeśli macierz A jest ortogonalna, to $A^{-1} = A^{T}$
  233. \\
  234. Z definicji macierzy jednostkowej :
  235. \\
  236. $I = A \times A^{-1} = A^{-1} \times A$
  237. \\
  238. Z definicji macierzy ortogonalnej:
  239. \\
  240. $I = A \times A^{T} = A^{T} \times A$
  241. \\
  242. A więc:
  243. \\
  244. $A \times A{-1} = A \times A^{T}$
  245. \\
  246. $A^{-1} = A^{T}$
  247. \newpage
  248. Dane są wektory
  249. \\
  250. $v_{1}=
  251. \begin{bmatrix}
  252. 1\\
  253. 1
  254. \end{bmatrix}
  255. ,v_{2}=
  256. \begin{bmatrix}
  257. 1\\
  258. 0
  259. \end{bmatrix}$
  260. \\
  261. w przestrzeni wektorowej $\mathbb{R^{2}}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.
  262. \\
  263. Rozwiązanie:
  264. \\
  265. Wektory nowej bazy oznaczamy jako $u_{1},u_{2}$i zapisujemy:
  266. \\
  267. $u_{1} = v_{1}$
  268. \\
  269. $u_{2} = v_{2} - \dfrac{v_{2} \times u_{1}}{u_{1}\times u_{1}}\times u_{1}$
  270. \\
  271. Obliczamy iloczyny skalarne:
  272. \\
  273. $v_{2}\times u_{1} =
  274. \begin{bmatrix}
  275. 1 & 0
  276. \end{bmatrix}
  277. \begin{bmatrix}
  278. 1\\
  279. 1
  280. \end{bmatrix} = 1 + 0 = 1$
  281. \\
  282. $u_{1} \times u_{1} =
  283. \begin{bmatrix}
  284. 1 & 0
  285. \end{bmatrix}$
  286. $\begin{bmatrix}
  287. 1\\
  288. 1
  289. \end{bmatrix} = 1 + 1 = 2$
  290. \\
  291. Nową bazę stanowią wektory:
  292. \\
  293. $u_{1} =
  294. \begin{bmatrix}
  295. 1\\
  296. 1
  297. \end{bmatrix}
  298. ,u_{2} =
  299. \begin{bmatrix}
  300. 1\\
  301. 0
  302. \end{bmatrix}
  303. -\dfrac{1}{2}
  304. \begin{bmatrix}
  305. 1\\
  306. 1
  307. \end{bmatrix}
  308. =
  309. \begin{bmatrix}
  310. \dfrac{1}{2}\\
  311. -\dfrac{1}{2}
  312. \end{bmatrix}$
  313. \newpage
  314. Dane są wektory:
  315. $v_{1}=
  316. \begin{bmatrix}
  317. 1\\
  318. 1\\
  319. 0
  320. \end{bmatrix}
  321. ,v_{2}=
  322. \begin{bmatrix}
  323. 1\\
  324. 0\\
  325. 1
  326. \end{bmatrix}
  327. ,v_{3}=
  328. \begin{bmatrix}
  329. 0\\
  330. 1\\
  331. 1
  332. \end{bmatrix}$
  333. \\
  334. w przestrzeni wektorowej $\mathbb{R^{3}}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację Grama-Schmidta.
  335. \\
  336. Rozwiązanie:
  337. \\
  338. Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczymy jako $u_{1}$, $u_{2}$,$u_{3}$i zapisujemy:
  339. \\
  340. $u_{1} = v_{1}$
  341. \\
  342. $u_{2} = v_{2} - \dfrac{v_{2} \times u_{1}}{u_{1}\times u_{1}}\times u_{1}$\\
  343. $u_{3} = v_{3} - \dfrac{v_{3}\times u_{1}}{u_{1}\times u_{1}}u_{1} - \dfrac{v_{3}\times u_{2}}{u_{2}\times u_{2}}u_{2}$
  344. \\
  345. Wpierw wyznaczamy wektor $u_{2}$, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:
  346. \\
  347. $v_{2}\times u_{1}=
  348. \begin{bmatrix}
  349. 1 & 0 & 1
  350. \end{bmatrix}
  351. \begin{bmatrix}
  352. 1\\
  353. 1\\
  354. 0
  355. \end{bmatrix}
  356. = 1+0+0=1$
  357. \\
  358. $u_{1}\times u_{1}=
  359. \begin{bmatrix}
  360. 1 & 1 & 0
  361. \end{bmatrix}
  362. \begin{bmatrix}
  363. 1\\
  364. 1\\
  365. 0
  366. \end{bmatrix} = 1+1+0 = 2$
  367. \\
  368. Zapisujemy wektor $u_{2}$:
  369. \\
  370. $u_{2} =
  371. \begin{bmatrix}
  372. 1\\
  373. 0\\
  374. 1
  375. \end{bmatrix}
  376. -\dfrac{1}{2}
  377. \begin{bmatrix}
  378. 1\\
  379. 1\\
  380. 0
  381. \end{bmatrix}
  382. =
  383. \begin{bmatrix}
  384. \dfrac{1}{2}\\
  385. -\dfrac{1}{2}\\
  386. 1
  387. \end{bmatrix}$
  388. \\
  389. Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na $v_{3}$:
  390. \\
  391. $v_{3}\times u_{1} =
  392. \begin{bmatrix}
  393. 0 & 1 & 1
  394. \end{bmatrix}
  395. \begin{bmatrix}
  396. 1\\
  397. 1\\
  398. 0
  399. \end{bmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1$
  400. \\
  401. $v_{3}\times u_{2} =
  402. \begin{bmatrix}
  403. 0 & 1 & 1
  404. \end{bmatrix}
  405. \begin{bmatrix}
  406. \dfrac{1}{2}\\
  407. -\dfrac{1}{2}\\
  408. 1
  409. \end{bmatrix}= 0 - \dfrac{1}{2} +1 =\dfrac{1}{2}$
  410. \\
  411. $u_{2}\times u_{2} =
  412. \begin{bmatrix}
  413. \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1
  414. \end{bmatrix}
  415. \begin{bmatrix}
  416. \dfrac{1}{2}\\
  417. -\dfrac{1}{2}\\
  418. 1
  419. \end{bmatrix} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{2}$
  420. \\
  421. Możemy zatem zapisać wektor $u_{3}$:
  422. \\
  423. $u_{3} =
  424. \begin{bmatrix}
  425. 0\\
  426. 1\\
  427. 1
  428. \end{bmatrix}
  429. -\dfrac{1}{2}
  430. \begin{bmatrix}
  431. 1\\
  432. 1\\
  433. 0
  434. \end{bmatrix}
  435. -\dfrac{1}{3}
  436. \begin{bmatrix}
  437. \dfrac{1}{2}\\
  438. -\dfrac{1}{2}\\
  439. 1
  440. \end{bmatrix}
  441. =
  442. \begin{bmatrix}
  443. -\dfrac{2}{3}\\
  444. \dfrac{2}{3}\\
  445. \dfrac{2}{3}
  446. \end{bmatrix}$
  447. \\
  448. Następnie obliczamy normy wektorów $u_{1,2,3}$:
  449. \\
  450. $\vert\vert u_{1} \vert\vert =
  451. \sqrt{\begin{bmatrix}
  452. 1 & 1 & 0
  453. \end{bmatrix}
  454. \begin{bmatrix}
  455. 1\\
  456. 1\\
  457. 0
  458. \end{bmatrix}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
  459. \\
  460. $\vert\vert u_{2} \vert\vert =
  461. \sqrt{\begin{bmatrix}
  462. \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1
  463. \end{bmatrix}
  464. \begin{bmatrix}
  465. \dfrac{1}{2}\\
  466. -\dfrac{1}{2}\\
  467. 1
  468. \end{bmatrix}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 1} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
  469. \\
  470. $\vert\vert u_{3} \vert\vert =
  471. \sqrt{\begin{bmatrix}
  472. -\dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3}
  473. \end{bmatrix}
  474. \begin{bmatrix}
  475. -\dfrac{2}{3}\\
  476. \dfrac{2}{3}\\
  477. \dfrac{2}{3}
  478. \end{bmatrix}} = \sqrt{\dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9}} = {\dfrac{2}{\sqrt{3}}}$
  479. \\
  480. Bazę ortonormalną oznaczamy przez $\ell_{1,2,3}$ i zapisujemy:
  481. \\
  482. $\ell_{1} = \dfrac{u_{1}}{\vert\vert u_{1}\vert\vert} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
  483. \begin{bmatrix}
  484. 1\\
  485. 1\\
  486. 0
  487. \end{bmatrix}
  488. \\
  489. $\ell_{2} = \dfrac{u_{2}}{\vert\vert u_{2}\vert\vert} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}
  490. \begin{bmatrix}
  491. \dfrac{1}{2}\\
  492. -\dfrac{1}{2}\\
  493. 1
  494. \end{bmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}
  495. \begin{bmatrix}
  496. 1\\
  497. -1\\
  498. 2
  499. \end{bmatrix}$
  500. \\
  501. \ell_{3} = \dfrac{u_{3}}{\vert\vert u_{3}\vert\vert} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  502. \begin{bmatrix}
  503. -\dfrac{2}{3}\\
  504. \dfrac{2}{3}\\
  505. \dfrac{2}{3}
  506. \end{bmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
  507. \begin{bmatrix}
  508. -1\\
  509. 1\\
  510. 1
  511. \end{bmatrix}$
  512. \\
  513. Dane są wektory
  514. \\
  515. $v_{1}=
  516. \begin{bmatrix}
  517. i\\
  518. o\\
  519. o
  520. \end{bmatrix}
  521. ,v_{2}=
  522. \begin{bmatrix}
  523. 1\\
  524. i\\
  525. 0
  526. \end{bmatrix}
  527. ,v_{3}
  528. \begin{bmatrix}
  529. 1\\
  530. 1\\
  531. i
  532. \end{bmatrix}$
  533. \\
  534. w przestrzeni wektorowej $C^{3}$ z iloczynem skalarnym $a \times b = \sum a_{i}b_{i}^{*}$. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.
  535. \\
  536. Rozwiązanie:
  537. \\
  538. Wektory nowej bazy oznaczamy jako $u_{1},u_{2},u_{3}$ i zapisujemy:
  539. \\
  540. $u_{1} = v_{1}$
  541. \\
  542. $u_{2} = v_{2} - \dfrac{v_{2} \times u_{1}}{u_{1}\times u_{1}}\times u_{1}$\\
  543. $u_{3} = v_{3} - \dfrac{v_{3}\times u_{1}}{u_{1}\times u_{1}}u_{1} - \dfrac{v_{3}\times u_{2}}{u_{2}\times u_{2}}u_{2}$
  544. \\
  545. Wpierw wyznaczamy wektor $u_{2}$, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:
  546. \\
  547. $v_{2}\times u_{1} =
  548. \begin{bmatrix}
  549. 1 & i & 0
  550. \end{bmatrix
  551. \begin{bmatrix}
  552. -i\\
  553. 0\\
  554. 0
  555. \end{bmatrix = -i + 0 + 0 = -i$
  556. \\
  557. $u_{1} \times u_{1} =
  558. \begin{bmatrix}
  559. i & 0 & 0
  560. \end{bmatrix
  561. \begin{bmatrix}
  562. -i\\
  563. 0\\
  564. 0
  565. \end{bmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1$
  566. \\
  567. Zapisujemy wektor u_{2}:
  568. \\
  569. $u_{2} =
  570. \begin{bmatrix}
  571. 1\\
  572. i\\
  573. 0
  574. \end{bmatrix} - (-i)
  575. \begin{bmatrix}
  576. i\\
  577. 0\\
  578. 0
  579. \end{bmatrix} =
  580. \begin{bmatrix}
  581. o\\
  582. i\\
  583. 0
  584. \end{bmatrix}$
  585. \\
  586. Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_{3}}:
  587. \\
  588. $v_{3} \times u_{1} =
  589. \begin{bmatrix}
  590. 1 & 1 & i
  591. \end{bmatrix
  592. \begin{bmatrix}
  593. -i\\
  594. 0\\
  595. 0
  596. \end{bmatrix} = -i + 0 + 0 = -i$
  597. \\
  598. $v_{3} \times u_{2} =
  599. \begin{bmatrix}
  600. 1 & 1 & i
  601. \end{bmatrix
  602. \begin{bmatrix}
  603. 0\\
  604. -i\\
  605. 0
  606. \end{bmatrix} = 0 - i + 0 = -i$
  607. \\
  608. $u_{2} \times u_{2} =
  609. \begin{bmatrix}
  610. 0 & i & 0
  611. \end{bmatrix
  612. \begin{bmatrix}
  613. 0\\
  614. -i\\
  615. 0
  616. \end{bmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1$
  617. \\
  618. Możemy zatem zapisać wektor u_{3}:
  619. \\
  620. $u_{3} =
  621. \begin{bmatrix}
  622. 1\\
  623. 1\\
  624. i
  625. \end{bmatrix}
  626. +i
  627. \begin{bmatrix}
  628. i\\
  629. 0\\
  630. 0
  631. \end{bmatrix}
  632. +i
  633. \begin{bmatrix}
  634. 0\\
  635. i\\
  636. 0
  637. \end{bmatrix} =
  638. \begin{bmatrix}
  639. 0\\
  640. 0\\
  641. i
  642. \end{bmatrix}$
  643. \end{itemize}
  644. \end{document}
Last edited by localghost on Thu Dec 20, 2012 10:12 am, edited 1 time in total.
Reason: Source code has to be tagged as such to keep a post clear and legible (see Board Rules).

Link:
BBcode:
HTML:
Hide post links
Show post links

User avatar
cgnieder
Site Moderator
Posts: 1948
Joined: Sat Apr 16, 2011 7:27 pm
Location: Germany
Contact:

Postby cgnieder » Thu Dec 20, 2012 11:11 am

Hi and welcome to the LaTeX community!

  • line 556: \end{bmatrix = -i + 0 + 0 = -i$
  • line 561: \end{bmatrix

There are more errors, though. Clearly you're using \\ way too much (which could be responsible for the tons underfull boxes). There are lines like this one:
  1. \\
  2. Możemy zatem zapisać wektor u_{3}:
  3. \\
  4. $u_{3} =


where both \\ could be left out. Use an empty line instead. Also, the given line misses some math mode around u_{3}.

Regards
Clemens
------------------------------
New German Q&A site about TeX: http://texwelt.de/wissen

Link:
BBcode:
HTML:
Hide post links
Show post links


Return to “Document Classes”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 3 guests